Prognoza vremena je odličan primjer primijenjene matematike u svakodnevnom životu. Prognoza vremena je izuzetno kompleksan sustav u kojem sudjeluju milijarde molekula, što prognozu vremena čini iznimno teškim zadatkom. Čak i kada u prognozi vremena koristimo podatke dobivene od stanica za prognozu vremena, satelita ili najvećih superračunala u svijetu, i dalje teško dolazimo do točne prognoze vremena.

Navier-Stokesove jednadžbe

Fluidi u atmosferi prate set pravila koja se nazivaju Navier-Stokesovim jednadžbama;međutim, trenutačno ne postoji direktno rješenje tih jednadžba. U stvari, ovo je jedan od najvećih neriješenih problema u matematici pa se nudi čak 1 milijun dolara za njegovo rješenje (Millennium Prize Problems).

Navier-Stokesove jednadžbe opisuju kretanje viskoznih fluida te dolaze od primjene drugog Newtonovog zakona na kretanje fluida uz pretpostavku da je stres u fluidu suma izraza za viskoznu difuziju i izraza za tlak. Ove jednadžbe su izuzetno korisne zato što opisuju mnoge fizikalne fenomene koje su bitne u znanosti i inženjerstvu. Koriste se za prognozu vremena, oceanskih struja, toka vode u cijevima i toka zraka oko zrakoplovnog krila. Pojednostavljena verzija ovih jednadžba koristi se u dizajniranju automobila i aviona, proučavanju krvnog toka, dizajnu opskrbnih stanica, analizi zagađenja i sl. U kombinaciji s Maxwellovim jednadžbama, koriste se za modele i proučavanje magnetohidrodinamike. Također, ove jednadžbe bitne su i u samo matematičkom smislu. Iako se široko primjenjuju, nije dokazano postoji li uvijek rješenje u trodimenzionalnom sustavu te jesu li one glatke u smislu da su beskonačno diferencijalne na svim točkama u domeni.

Numeričke simulacije za prognozu vremena

Umjesto rješavanja Navier-Stokesovih jednadžba, superračunalima možemo podijeliti cijelu atmosferu na milijune malih blokova veličine otprilike jedan kubični kilometar. Nakon toga možemo primijeniti numeričke simulacije kako bismo dobili prognozu visoke rezolucije.

Međutim, čak i najmanja razlika u mjerenjima i u parametrima simulacija može imati velik utjecaj na vremensku prognozu. Zbog toga, i dan danas je nemoguće prognozirati vrijeme osim nekoliko tjedana u naprijed. Isto tako, možemo očekivati da će točnost matematičkih modela u budućnosti unaprijediti, kao i brzina računala i simulacija.